Задачи и парадоксы

Здесь собраны задачи, которые мы считаем «золотым фондом» элементарной физики. Как правило, в них недостаточно просто получить ответ — нужно объяснить, почему разные способы решения дают разные ответы. Разобраться в этом, прийти к настоящему пониманию можно только в ходе подробных обсуждений. Если какие-то из этих задач Вас заинтересовали — приходите к нам!

Звездочкой отмечены задачи, выходящие за рамки школьной физики. Задачи, отмеченные двумя или тремя звездочками, возможно, заинтересуют физиков-теоретиков.

Тише едешь — быстрее будешь

Камень бросают вертикально вверх. Какой должна быть его начальная скорость, чтобы подъем на высоту \(30\) м занял ровно \(6\) с?  \(3\) с?

Сравните ответы и объясните удивительный результат.

Баржа и два буксира

По морю плывет баржа, которую тащат два буксира. Каждый буксир связан с баржей нерастяжимым канатом. В некоторый момент угол между канатами равен \(\alpha\), скорости буксиров равны \(v\) и направлены вдоль канатов. Чему равна в этот момент скорость баржи?

Получив общий ответ, подставьте в него значения \(\alpha=0°\) и \(\alpha=180°\). Согласуются ли результаты со здравым смыслом?

Велосипед (катушка)

Детский трехколесный велосипед с педалями, закрепленными на оси переднего колеса, стоит так, что одна из педалей находится в нижнем положении. Вы стоите перед велосипедом и тянете за эту педаль на себя. Куда покатится велосипед? Руль велосипеда закреплен, его колеса по земле не проскальзывают.

Проверьте свой ответ на опыте. Если нет велосипеда, опыт можно поставить с помощью катушки с намотанной на нее ниткой.

 

Парадокс кинетической энергии

Грузовик массы m движется по дороге со скоростью v, а затем разгоняется до скорости \(2\)v. Найдите, на сколько возрастает при этом его кинетическая энергия, сделав расчет в двух системах отсчета — связанной с Землей и движущейся относительно Земли с постоянной скоростью v в ту же сторону, что и грузовик. Как объяснить различие приращений энергии в этих системах отсчета?

Цепочка на блоке

Цепь с неупругими звеньями перекинута через блок, причем часть ее лежит на столе, а часть — на полу. Высота стола равна h. После того как цепь отпустили, она начала двигаться. Найдите скорость установившегося равномерного движения цепи.

Решите задачу с помощью закона сохранения энергии и с помощью закона сохранения импульса. Сравните полученные ответы.

Цистерна на рельсах

На горизонтальных рельсах стоит цистерна с водой. В днище цистерны, вблизи от одного из ее торцов, есть отверстие, снабженное патрубком (короткой вертикальной трубкой). Вначале отверстие закрыто, в некоторый момент его открывают. Куда начнет двигаться цистерна? Как будет меняться ее движение по мере выливания воды? Куда она будет двигаться, когда вся вода выльется? Можно ли ответить на эти вопросы в общем виде, или ответы зависят от конкретных параметров цистерны?

Трением при движении цистерны можно пренебречь.

Парадоксальный космический движитель

Некий изобретатель предлагает принципиально новую идею движителя для космического корабля. В его конструкции корабль имеет форму цилиндра, снабженного радиально расходящимися спицами. По спицам перемещаются одинаковые грузы, соединенные с кораблем телескопическими штангами. Вся конструкция приводится во вращение, после чего грузы с помощью штанг начинают перемещать так, чтобы одну половину своей траектории (например, правую по рисунку) они проходили на большем расстоянии от корабля, чем другую. По мысли изобретателя, поскольку центробежная сила пропорциональна центростремительному ускорению \(a_c=\omega^2r\), правые грузы будут сильнее тянуть за штанги, чем левые. В результате на корабль будет действовать суммарная сила, направленная вправо, и он начнет разгоняться.

Будет ли работать такой движитель? Если нет, то в чем ошибка рассуждений изобретателя?

Реактивный бак с водой

В стенке наполненного водой бака сделано отверстие площади \(S\), находящееся на глубине \(h\) от уровня поверхности воды. Размер отверстия мал по сравнению с \(h\)  и с шириной бака. Из отверстия вытекает струя, в результате на бак действует реактивная сила.

Найдите величину этой силы, вычислив скорость истечения струи и применив закон сохранения импульса. Плотность воды равна \(\rho\).

Найдите эту силу другим способом — как силу давления воды на «пятачок» противоположной стенки бака, находящийся напротив отверстия. (Все остальные участки этой стенки имеют парный участок на противоположной стене, силы давления воды на такую пару сокращаются).

Сравните результаты вычислений. Почему они различаются? Каким патрубком (короткой трубкой) нужно снабдить отверстие, чтобы верным был первый ответ? Второй ответ? Какова будет величина реактивной силы, если отверстие сделано простейшим способом — без патрубка?

Встречный теплообменник

а) Теплообменник состоит из двух длинных коаксиальных труб. Во внутреннюю трубу поступает вода температурой \(80^\circ \text{C}\) в количестве \(1\) литр в секунду. Во внешнюю трубу подается вода температурой \(20^\circ \text{C}\), ее расход – \(2\) литра в секунду. Во время движения потоков происходит передача тепла от горячей к холодной воде. До какой максимальной температуры будет нагреваться холодная вода в таком теплообменнике, если сделать его длину очень большой?

б) Пусть теперь горячая и холодная вода подаются в теплообменник с противоположных концов и движутся противотоком. Может ли холодная вода на выходе такого устройства иметь температуру более высокую, чем горячая (тоже на выходе)? Какими будут температуры на выходе, если длину теплообменника сделать очень большой?

Трубка со ртутью

Нижнюю половину вертикальной трубки длины \(H=1520\) мм, запаянной с нижнего конца, занимает воздух, запертый столбиком ртути (высота столбика ртути, таким образом, соответствует атмосферному давлению \(p_0=760\) мм рт. ст.). Температура воздуха в трубке равна \(T_0\). Его начинают медленно нагревать.

а)  До какой максимальной температуры удастся нагреть воздух в трубке, прежде чем ртуть выплеснется?

б) Какова будет температура воздуха непосредственно перед выплескиванием? Воздух нагревают нагревателем постоянной (небольшой) мощности.

20-метровый капилляр

Как известно, высота подъема смачивающей жидкости в капилляре обратно пропорциональна радиусу этого капилляра.

Известно также, что никаким откачивающим насосом нельзя поднять воду из открытого водоема на высоту, большую \(10\) м (приблизительно). \(10\) м водяного столба создают гидростатическое давление, примерно равное атмосферному, поэтому на этой высоте давление в воде станет равным нулю и она закипит (давление насыщенных паров воды при комнатной температуре очень мало, его можно считать близким к нулю).

Представим себе, что мы изготовили стеклянный капилляр настолько тонкий, что вода в нем должна подниматься на \(20\) м (по капиллярной формуле). Опустим его в воду. На какую высоту поднимется вода? Если на \(20\) м, то почему она не кипит на высоте \(10\) м? Если на \(10\) м и там будет кипеть — как это согласуется с I и II началами термодинамики?

В этом рассуждении можно обойтись и гораздо более реалистичным капилляром (высотой, например, \(20\) см) — при полном сохранении парадоксальности. Придумайте, как это можно сделать.

Отверстие в перегородке

Сосуд с газом разделен на две части перегородкой, в которой имеется небольшое отверстие. В левой части сосуда поддерживается температура \(T_1\), в правой — \(T_2\). Во сколько раз будут отличаться концентрации и давления газа в разных частях сосуда, когда установится равновесие (т.е. прекратится перетекание газа)?

Какие получаются ответы, если в качестве условия равновесия использовать равенство давлений в двух частях сосуда? А если потребовать, чтобы в единицу времени через отверстие в одну и в другую сторону пролетали одинаковые количества молекул? Как объяснить различие получающихся результатов?

Потенциалы в вершинах

а) Пирамида \(SABCD\) высоты \(H\) равномерно  заряжена по объему, электростатический потенциал ее поля в точке \(S\) равен \(\phi_0\). От нее плоскостью, параллельной основанию, отрезают пирамиду \(SA_1B_1C_1D_1\) высоты \(H/2\) и удаляют ее на бесконечность. Каким после этого станет потенциал в точке \(S\), где находилась вершина исходной пирамиды?

 

 

б) Аналогичный вопрос для равномерно заряженной тонкой палочки.

 

 

в) Аналогичный вопрос для равномерно заряженной тонкой треугольной пластины.

 

Почему в одном из этих трех случаев ответ получается явно бессмысленный?

Остывающая проволока

Два одинаковых металлических шарика находятся на расстоянии \(R\), большом по сравнению с их размерами. Один шарик несет заряд \(q\), другой \(2q\). Шарики соединяют тонкой металлической проволокой. Найдите энергию взаимодействия шариков до соединения и после него. Как объяснить возрастание этой энергии? Остывает или нагревается проволока при перетекании зарядов?

Работа над конденсатором

Расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора медленно увеличили вдвое. Найдите затраченную при этом механическую работу, если

а) конденсатор был заряжен и отсоединен от источника напряжения

б) конденсатор был присоединен к источнику напряжения.

Начальная электростатическая энергия конденсатора равна W.

Работа над соленоидом

Длинный соленоид имеет индуктивность L, по нему течет ток I. Его длину медленно увеличили в два раза, равномерно увеличив расстояния между витками. Найдите совершенную при этом механическую работу, если

а) соленоид сверхпроводящий и короткозамкнутый

б) величина тока в соленоиде оставалась постоянной.

Вращающийся диск — источник тока

Металлический диск радиуса \(r\) вращается с угловой скоростью \(\omega\). Свободными носителями заряда в диске являются электроны с зарядом \(e\) и массой \(m\). Диск подключен к сопротивлению нагрузки \(R\) при помощи скользящих контактов, касающихся оси диска и его обода. Сопротивление диска мало по сравнению с сопротивлением нагрузки.

а) Найдите величину тока, протекающего через нагрузку.

б) Найдите мощность, затрачиваемую внешними силами, вращающими диск.

Постарайтесь получить ответ на второй вопрос разными способами. Сравните результаты.

Вольтметр в недоумении

Проволочное кольцо охватывает длинный соленоид, оси кольца и соленоида совпадают. Магнитное поле в соленоиде меняется так, что ЭДС индукции в кольце равна \(1\) В. Что покажет маленький идеальный вольтметр, подсоединенный к точкам A и B кольца, если эти точки делят его окружность в отношении \(1:2\) ?

Зеркальный эллипсоид

Замкнутая полость ограничена двумя половинками софокусных эллипсоидов разного размера, соединенными плоской кольцевой вставкой. Все поверхности с внутренней стороны — зеркальные. В фокусы эллипсоидов помещены два маленьких раскаленных шарика. В силу известного оптического свойства эллипса, все излучение первого шарика после отражения от большего или меньшего эллипсоида попадает на второй. А вот излучение второго шарика только отчасти попадает на первый. Часть испущенных вторым шариком лучей после двух отражений возвращается к нему же (см. рисунок). Это означает, что если шарики одинаковы и вначале имели одинаковую температуру, то первый из них будет остывать (он излучает больше энергии, чем получает), а второй — нагреваться. Таким образом, в некоторый момент тепло будет передаваться от более холодного шарика к более горячему.

Как это согласуется со II началом термодинамики?

Ракеты, связанные веревкой

Две ракеты, связанные нерастяжимой веревкой, парят в космическом пространстве. В начальный момент они покоятся в лабораторной системе отсчета, веревка между ними натянута. Затем они одновременно начинают разгоняться с одинаковым ускорением, направленным вдоль веревки (одна ракета, таким образом, движется впереди другой). Что произойдет при этом с веревкой?

С одной стороны — расстояние между ракетами (в лабораторной с.о.) в любой момент времени равно начальному (они разгоняются совершенно синхронно). А длина веревки уменьшается — она испытывает лоренцево сокращение. Значит, «дотянуться» до ракет она не сможет и порвется. С другой стороны — скорости ракет в любой момент одинаковы, они не движутся друг относительно друга и расстояние между ними в их системе отсчета не меняется. Веревка в этой системе отсчета также покоится и сохраняет свою длину. Поэтому она не порвется, а так и будет натянута между ракетами.

Так что же произойдет с веревкой на самом деле?

Релятивистский бегун

Спортсмен бежит со скоростью \(v=0,\!6c\), держа горизонтально шест длиной \(l_0=10\) м. Он вбегает в сарай, длина которого \(L_0=8\) м. Шест в системе отсчета сарая испытывает лоренцево сокращение до длины \(l=l_0/\gamma=8\) м, поэтому в сарае он как раз поместится. С другой стороны, в системе отсчета спортсмена лоренцево сокращение испытывает сарай (до длины \(L=L_0/\gamma=6,\!4\) м), а длина шеста не меняется. Значит, поместиться в сарае он никак не сможет.

Так поместится шест в сарае или нет?

Релятивистский поезд*

По прямому горизонтальному пути с релятивистской скоростью мчится поезд. Длина каждого вагона (в покое) равна длине одного рельсового звена, вес вагона почти равен пределу прочности такого звена (но не превосходит его). Таким образом, когда поезд стоит, на каждое звено приходится вес одного вагона и путь его выдерживает.

Если же поезд движется, его вагоны испытывают лоренцево сокращение (в системе отсчета пути), поэтому на каждое звено опирается больше одного вагона. Такую нагрузку путь выдержать не может — произойдет крушение.

С другой стороны, в системе отсчета поезда лоренцево сокращение испытывают не вагоны, а звенья пути. Значит, на каждое звено приходится в среднем меньше одного вагона и путь нагрузку выдерживает, даже с запасом.

Так что же произойдет с рельсами при движении такого поезда — разрушатся они или нет?

Релятивистская подводная лодка**

В глубине океана с релятивистской скоростью плывет подводная лодка. Средняя плотность лодки равна плотности воды, поэтому в покое она обладает нулевой плавучестью — действующая на нее сила Архимеда уравновешивает силу тяжести. Если же лодка движется, в системе отсчета воды она испытывает лоренцево сокращение, объем вытесняемой ею воды уменьшается, сила Архимеда становится меньше силы тяжести и лодка будет тонуть. С другой стороны, в системе отсчета лодки ее объем не меняется, а лоренцево сокращение испытывает набегающая на нее вода. Плотность воды при этом возрастает, значит, при том же объеме вытесненной воды ее вес (сила Архимеда) становится больше силы тяжести, действующей на лодку — лодка начнет всплывать.

Так что же все-таки с ней произойдет — утонет она или всплывет?

Самодвижущаяся тележка***

На рисунке изображена конструкция, состоящая из тороидального соленоида, по которому течет ток, и равномерно заряженной длинной спицы (спица расположена вдоль оси соленоида). Легко заметить, что электромагнитное поле такой системы во всех точках внутри соленоида имеет ненулевой вектор Пойнтинга, направленный параллельно оси (вправо по рисунку). То есть это поле обладает суммарным импульсом, направленным вправо.

Закрепим эту конструкцию на тележке и медленно уменьшим ток в соленоиде до нуля. Импульс поля обратится в ноль, но поскольку внешних сил на тележку не действовало, ее полный импульс должен сохраниться. Значит, у нее возникнет механический импульс и она поедет вправо — без всякого взаимодействия с внешним миром, но в полном согласии с законом сохранения импульса!

Удивительно, не правда ли? Неужели она действительно поедет?